อัตราส่วนที่เท่ากัน

อัตราส่วนที่เท่ากัน

ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

                “แม่ให้รุ่งไปซื้อมะนาวจากตลาดนัดข้างบ้าน รุ่งซื้อมะนาวมา 4 ผลราคา 5 บาท “ จากข้อความดังกล่าว สามารถนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน เป็น 4:5 นักเรียนคิดว่า ถ้ารุ่งต้องการซื้อมะนาวตามจำนวนที่กำหนดในตาราง แล้วราคามะนาวจะเป็นเท่าไร

ให้นักเรียนเติมราคามะนาวในตารางให้สมบูรณ์

จำนวนมะนาว (ผล)              4              8              12           16           20

ราคามะนาว (บาท)               5              ...            ...            ...            ...

นักเรียนคิดว่าจะเขียนอัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคาเป็นบาทได้อย่างไรบ้าง ซึ่งคำตอบจะเป็นดังนี้

               4:5   หรือ   8:10   หรือ   12:15   หรือ   16:20   หรือ   20:25

จะเห็นว่าอัตราส่วนเหล่านี้ ได้มาจากการซื้อมะนาวในราคาเดียวกันคือ มะนาว 4 ผล ราคา 5 บาท และกล่าวว่าอัตราส่วนเหล่านั้นเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเขียนได้ดังนี้

              4:5 = 8:10 = 12:15 = 16:20 = 20:25 หรือ 4/5 = 8/10 = 12/15 = 16/20 = 20/25

เราจะสังเกตเห็นว่า อัตราส่วนที่เท่ากันข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกันกับอัตราส่วน 4/5 ดังนี้

       คูณด้วยจำนวนเดียวกัน                                             หารด้วยจำนวนเดียวกัน

4/5 = (4×2)/(5×2) = 8/10                                                8/10 = (8÷2)/(10÷2) = 4/5

4/5 = (4×3)/(5×3) = 12/15                                             12/15 = (8÷3)/(10÷3) = 4/5

4/5 = (4×4)/(5×4) = 16/20                                             12/15 = (8÷4)/(10÷4) = 4/5

4/5 = (4×5)/(5×5) = 20/25                                             12/15 = (8÷5)/(10÷5) = 4/5

การทำอัตราส่วนให้เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดให้ข้างต้น เป็นไปตามหลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน ดังนี้

                หลักการคูณ เมื่อคูณแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม

                หลักการหาร เมื่อหารแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม

ตัวอย่าง จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน  7  :  9  มาอีก  2  อัตราส่วนโดยใช้หลักการคูณ

วิธีทำ           7 : 9  =   7/9  =  (7×2)/(9×2)  =  14/18

                    7 : 9  =   7/9  =  (7×3)/(9×3)  =  21/27

             ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากันกับอัตราส่วน  7 : 9  คือ  14 : 18 และ 21 : 27

             ตอบ  14 : 18 และ 21 : 27

ตัวอย่าง จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน  122/180  มาอีก  2  อัตราส่วนโดยใช้หลักการหาร

วิธีทำ           122/180  =  (122÷2)/(180÷2)  =  61/90

                    122/180  =  (122÷10)/(180÷10)  =  12.2/18

             ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากันกับอัตราส่วน  122/180 คือ  61/90  และ   12.2/18

             ตอบ    61/90  และ   12.2/18

การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วนโดยใช้การคูณไขว้

พิจารณาอัตราส่วนสองอัตราส่วนต่อไปนี้

เราสามารถตรวจสอบว่า อัตราส่วนทั้งสองนี้เท่ากันหรือไม่ ดังนี้

       20/12 = (20×27)/(12×27)  

 และ 45/27 = (45×12)/(27×12)     

เนื่องจาก                12×27 =  27×12

จึงตรวจสอบว่า        20×27 = 45×12    หรือไม่

เนื่องจาก                 20×27 = 540        และ 45×12 = 540

ดังนั้น                      20×27 = 45×12

จึงสรุปได้ว่า            20/12  กับ  45/27     เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

     ให้สังเกตว่า 20×27 และ 45×12 ได้มาจากการคูณไขว้ ซึ่งผลคูณไขว้ 20×27 = 45×12 ข้างต้นนี้ ทำให้เราสรุปได้ว่า อัตราส่วน 20/12 และ 45/27 เท่ากัน

      โดยทั่วไปเราสามารถตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน a/b และ c/d ด้วยการคูณไขว้

               แล้วพิจารณาผลคูณไขว้ a × d และ b × c  ตามหลักดังนี้

                ถ้า a×d = b×c  แล้ว a/b = c/d

                ถ้า a×d ≠ b×c  แล้ว a/b ≠ c/d

จากหลักการข้อ 2  ข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปต่อไปอีกว่า

                ถ้า a/b = c/d แล้ว a×d = b×c 

ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าอัตราส่วนในข้อต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

              2/6  และ 15/45

วิธีทำ         จากการคูณไขว้  

             

       จะได้                               2 × 45    =  90

                                        6  ×  15  =  90

         ดังนั้น                             2 × 45    =  6  ×  15 

         นั่นคือ                                    2/6   =  15/45

             ตอบ       2/6   และ   15/45  เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน